From: "A.L." <alewando fala2005.com>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
On Mon, 29 Oct 2007 07:26:59 CST, "jtg" <jtg77 poczta.onet.pl>
wrote:
>> On Sat, 27 Oct 2007 23:05:52 CST, jtg <jtg77 poczta.onet.pl> wrote:
>>
>> >
>> >
>> >Ale 2^20 to całkiem mała liczba, rzędu miliona. Mamy więc 20 milionów
>> >elementów, a na każdym wystarczy wykonać mniej niż 20 dodawań.
>> >Duże grafy zaczynają się od 25-30 wierzchołków. :-)
>>
>> A skad ci sie wzielo 2^20?...
>
>Przecież napisałem w poprzednim poście. Ale powtórzę: jest to liczba wszystkich
>kombinacji wierzchołków, albo inaczej liczba wszystkich podzbiorów wierzchołków.
>
>> Anyway, powtorze jeszcze raz: jesli
>> chcesz przenumerowac wszystkie cykle.
>
>Nie chcę przenumerować wszystkich cykli. Chcę wiedzieć, ile ich jest. Więcej
>wiary w matematykę. :-)
>Żeby się upewnić, poświęciłem chwilę na napisanie programu liczącego cykle
>Hamiltona. Działa trochę wolniej niż myślałem, bo dla 20-wierzchołkowego grafu
>pełnego potrzebuje 3 sekund (MS C#, procesor 32-bitowy), niemniej jednak działa
>w "rozsądnym czasie" i zwraca poprawne wyniki. Gdybyś chciał się zapoznać, mogę
>Ci go przesłać na priv.
Program mnie nei interesuje, albowiem nie wydaje mi sie aby twoj
algorytm byl prawidlowy. Jezeli jested w stanie przeprowadzic dowod
poprawnosci, z checia go zobacze.
A.L.
From: "A.L." <alewando fala2005.com>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
On Sat, 27 Oct 2007 23:05:52 CST, jtg <jtg77 poczta.onet.pl> wrote:
>
>
>Ale 2^20 to całkiem mała liczba, rzędu miliona. Mamy więc 20 milionów
>elementów, a na każdym wystarczy wykonać mniej niż 20 dodawań.
>Duże grafy zaczynają się od 25-30 wierzchołków. :-)
A skad ci sie wzielo 2^20?... Anyway, powtorze jeszcze raz: jesli
chcesz przenumerowac wszystkie cykle, to nad kazdym musisz spedzic
troche czasu. Jezeli tych cykli jest 10^18, a nad kazdym spedzisz
mikrosekunde, czyli 10^-6 sekundy, to ogolny czas bedzie 10^12. To
tez jest starsznie duza liczba.
A.L.
From: Piotr <piotr.piwko gmail.com>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
jtg pisze:
> Jak taki mały, to na dzisiejszym sprzęcie można to policzyć metodą
> programowania dynamicznego.
Też o tym myślałem, ale niestety zrezygnowałem z tego pomysłu z powodów
opisanych poniżej.
> Tworzysz tablicę
> tab[2^20][20]
Rozmiar tablicy wynosi tab[1048576][20], czyli rezerwowane jest 20 971
520 komórek. Przyjmując, że każda komórka będzie miała wartość 1-bajtową
(char), to osiągamy rozmiar zarezerwowanej pamięci na poziomie 20MB.
> Dla takiego grafu to czas poniżej sekundy.
Otóż nie. Przeprowadzałem testy. Sama pętla wykonująca się 20 971 520
razy zajmuje ok 1s 360ms. Dodając to tego inne instrukcje, przypisania,
warunki, ogólny czas przekroczy dość znacznie 3s. Dodam jeszcze, że
szukanie cykli hamiltona jest jednym z etapów, na które mam magiczne 3s. :)
Jak już wspomniałem wcześniej zaimplementowałem algorytm genetyczny,
który to naprawdę w bardzo krótkim czasie znajduje mi kilkanaście cykli
hamiltona, po czym zaczyna się powtarzać. Jestem prawie pewien, że
znajduje je wszystkie, lecz aby wysunąć taką tezę muszę mieć na to jakiś
dowód. Na pewno dowodem nie jest algorytm genetyczny, który to w samej
swojej istocie polega na prawdopodobieństwu.
Mimo wszystko, dziękuję Wam za zaangażowanie.
--
Piotr Piwko
http://piotr.piwko.googlepages.com/
From: argothiel <argothiel interia.niechce.spamu.pl>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
Piotr pisze:
> Musi być ta no jakiś patent! Albo na określenie liczby cykli hamiltona,
> albo dowód na brak możliwości dokonania tego w rozsądnym czasie.
Problem określenia, czy w danym grafie istnieje co najmniej jeden cykl
Hamiltona, jest NP-zupełny, więc tym bardziej Twój problem jest
NP-zupełny. Trzeba jeszcze poczekać, zanim znajdą algorytmy wielomianowe
dla takich problemów.
> Dziękuję za poświęcony czas.
Pozdrawiam, argothiel
From: "A.L." <alewando fala2005.com>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
On Sat, 27 Oct 2007 14:26:22 CST, jtg <jtg77 poczta.onet.pl> wrote:
>>
>> Graf liczy 20 wierzchołków, z których średnio wychodzi 10-12 gałęzi.
>>
>
>Jak taki mały, to na dzisiejszym sprzęcie można to policzyć metodą
>programowania dynamicznego.
Maly?...
>(Oczywiście mogę się mylić zgodnie z zasadą: "For every complex problem,
>there is at least one solution that is simple, easy to explain, and
>completely wrong.") :-)
>
>
>Tworzysz tablicę
> tab[2^20][20]
Chesz przenumerowac wszystkie cykle Hamiltona?... Powodzenia. W
pelnym grafie o n wierzcholkach jest (n-1)! cykli Hamiltona. 20! to
dosyc duza liczba, cos 2* 10^18. Ta liczba to o ile mnie pamiec nie
myli, to wiek Wszechswiata w milisekundach, czy cos takiego.
Oryginalny Pytacz bedzie mial troche mniej tych cykli, bo graf nie
jest pelny, ale tez dosyc duzo.
W kazdym razie zycze powodzenia. Proponuje zaczac jak najszybciej bo
czas ucieka!
A.L.
From: jtg <jtg77 poczta.onet.pl>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
Piotr pisze:
> Jakub Wroblewski pisze:
>
>>> Może istnieje na to jakiś dowód?
>> Alez jest mozliwe - wystarczy policzyc po kolei.
>
> Niestety, mam za dużo danych, aby zastosować przegląd zupełny.
>
>> Nie jest tylko znany sposob na policzenie tego w czasie wielomianowym.
>
> W internecie natrafiłem na coś co się nazywa "Metoda kompozycji
> łacińskiej", która to ponoć znajduje _wszystkie_ cykle. Niestety owa
> metoda jest opisana dość lakonicznie i mało przejrzyście. Opis znajduje
> się na Wikipedii, toteż podchodzę do tego z rezerwą. Oto link:
> http://tnij.org/ae4w . Praktycznie jest to jedyny dokument traktujący na
> ten temat, jaki udało mi się znaleźć.
>
>> A ile masz wierzcholkow i jak gesty graf?
>
> Graf liczy 20 wierzchołków, z których średnio wychodzi 10-12 gałęzi.
>
Jak taki mały, to na dzisiejszym sprzęcie można to policzyć metodą
programowania dynamicznego.
(Oczywiście mogę się mylić zgodnie z zasadą: "For every complex problem,
there is at least one solution that is simple, easy to explain, and
completely wrong.") :-)
Tworzysz tablicę
tab[2^20][20]
gdzie pierwszy indeks jest maską bitową odwiedzonych wierzchołków, a
druga ostatnim odwiedzonym wierzchołkiem. Każdy element tab[maska][i]
oznacza liczbę ścieżek Hamiltona rozpoczynających się w wierzchołku 0,
przechodzących przez wierzchołki określone maską bitową i kończących się
w wierzchołku i.
Obierasz wierzchołek startowy, np. 0
tab[2^0][0] = 1 (jest jedna ścieżka składająca się tylko z
wierzchołka 0)
A potem przedłużasz wszystkie ścieżki do długości 2, 3, 4...19:
jeśli wierzchołki i, j są połączone
jeśli (maska AND (2^j))=0 (czyli ścieżka nie zawiera jeszcze
wierzchołka j)
tab[maska OR (2^j)][j] += tab[maska][i]
Na końcu wystarczy zsumować liczby ścieżek Hamiltona o długości 19,
kończących się w wierzchołkach mających połączenie z wierzchołkiem 0.
Złożoność pamięciowa 2^n * n
Złożoność czasowa 2^n * n * k
gdzie k jest średnią liczbą połączeń
Dla takiego grafu to czas poniżej sekundy.
From: "A.L." <alewando fala2005.com>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
On Sat, 27 Oct 2007 08:55:47 CST, Piotr <piotr.piwko gmail.com>
wrote:
>
>Musi być ta no jakiś patent! Albo na określenie liczby cykli hamiltona,
>albo dowód na brak możliwości dokonania tego w rozsądnym czasie.
Jest patent. Patent mowi ze liczby cykli nie da sie okreslic "w
rozsadnym czasie".
A.L.
From: Piotr <piotr.piwko gmail.com>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
Jakub Wroblewski pisze:
>> Może istnieje na to jakiś dowód?
> Alez jest mozliwe - wystarczy policzyc po kolei.
Niestety, mam za dużo danych, aby zastosować przegląd zupełny.
> Nie jest tylko znany sposob na policzenie tego w czasie wielomianowym.
W internecie natrafiłem na coś co się nazywa "Metoda kompozycji
łacińskiej", która to ponoć znajduje _wszystkie_ cykle. Niestety owa
metoda jest opisana dość lakonicznie i mało przejrzyście. Opis znajduje
się na Wikipedii, toteż podchodzę do tego z rezerwą. Oto link:
http://tnij.org/ae4w . Praktycznie jest to jedyny dokument traktujący na
ten temat, jaki udało mi się znaleźć.
> A ile masz wierzcholkow i jak gesty graf?
Graf liczy 20 wierzchołków, z których średnio wychodzi 10-12 gałęzi.
Musi być ta no jakiś patent! Albo na określenie liczby cykli hamiltona,
albo dowód na brak możliwości dokonania tego w rozsądnym czasie.
Dziękuję za poświęcony czas.
--
Piotr Piwko
http://piotr.piwko.googlepages.com/
From: Piotr <piotr.piwko gmail.com>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
Jakub Wróblewski pisze:
> Gdyby bylo znane, problem istnienia cykli Hamiltona nie bylby NP-zupelny.
Może istnieje na to jakiś dowód? Zadowalające jest dla mnie zarówno
twierdzenie na ilość cykli, a jak nie to, dowód na to, że jest to
niemożliwe.
> Wylicz wszystkie na boku i sprawdz.
Niestety, ilość danych przerasta moją moc obliczeniową :)
Dziękuję za zainteresowanie.
--
Piotr Piwko
http://piotr.piwko.googlepages.com/
From: =?iso-8859-2?Q?Jakub_Wr=F3blewski?= <jakubw_bez_tego mimuw.edu.pl>
Subject: Re: Wszystkie cykle hamiltona
Witam,
Użytkownik "Piotr" <piotr.piwko gmail.com> napisał w wiadomości
news:ffv3tq$g4l$1 inews.gazeta.pl...
>
> Czy istnieje jakieś twierdzenie, które na podstawie macierzy incydencji
> potrafi określić ile jest _wszystkich_ cykli hamiltona w grafie?
Gdyby bylo znane, problem istnienia cykli Hamiltona nie bylby NP-zupelny.
Wylicz wszystkie na boku i sprawdz.
Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski
From: Piotr <piotr.piwko gmail.com>
Subject: Wszystkie cykle hamiltona
Witam serdecznie.
Czy istnieje jakieś twierdzenie, które na podstawie macierzy incydencji
potrafi określić ile jest _wszystkich_ cykli hamiltona w grafie?
Zaimplementowałem algorytm genetyczny z mutacją, który to bardzo
sprawnie szuka cykli hamiltona, lecz niestety nie potrafię określić, czy
znalazł je wszystkie.
Z góry dziękuję za pomoc.
--
Piotr Piwko
http://piotr.piwko.googlepages.com/
From: Adam Byrtek <adambyrtek gmail.com>
Subject: Re: statystyka strony lub =?UTF-8?B?bWF0ZXJpYcKzeQ==?=
On 10/9/07, olk <olkiiWYTNIJTO op.pl> wrote:
> Czy mĂłgĹby ktoĹ podaÄ jakieĹ strony o statystyce , takiej na poziomie
> politechniki ? trochÄ szukaĹem na polskim googlu ale nie wiele tego.
MoĹźe po
> angielsku coĹ jest ale nie bardzo wiem jak to wpisywaÄ Ĺźeby coĹ
znaleĹÄ. Albo ma
> ktoĹ ebooki ?
Tutaj znajduje siÄ przystÄpny podrÄcznik do statystyki matematycznej,
z nastawieniem na zastosowania:
http://www.fuw.edu.pl/~rjn/asd.html
Pozdrawiam,
Adam
--
Adam Byrtek
From: Adam Byrtek <adambyrtek gmail.com>
Subject: Re: Liczby pseudolosowe dowolnej =?ISO-8859-2?Q?d=B3ugo=B6ci?=
On 10/9/07, Borneq <borneq antyspam.hidden.pl> wrote:
> Gdzie można znaleźć algorytmy generowania wielkich liczb pseudolosowych i
> testy na ich zachowanie losowe?
Wbrew pozorom "zachowanie losowe" nie tak łatwo formalnie zdefiniować.
Co więcej w praktyce oczekujemy innych własności w różnych
zastosowaniach (symulacje, kryptografia). Jeśli nie interesują Cię
generatory kryptograficznie bezpieczne, klasyczną pozycją w temacie
generatorów pseudolosowych jest drugi tom The Art of Computer
Programming Knutha.
Pozdrawiam,
Adam
--
Adam Byrtek
From: "Antek Laczkowski" <antekL1 nospam.onet.pl>
Subject: Re: Aproksymacja pierwsze i drugiej pochodnej
Dnia 26-10-2007 o 10:30:57 Likaon <thunderWYTNIJTO toya.net.pl> napisał(a):
> W jaki sposob aproksymowac pierwsza i druga pochodna funkcji np. u(x) z
> ilorazami centralnymi??
> Oczywiscie iloraz centralny to dy/dx=f(x+h)-f(x-h)/2h=Yi-Yi-1/2h .Prosze
> o
> jakies sugetie jakie kroki mam poczynic w tym teorytycznym problemie.
>
Numerical Recipes
http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.php
rozdział 5.7
(Acrobat Reader może potrzebować wtyczki, którą sobie dogra)
Antek
From: "A.L." <alewando fala2005.com>
Subject: Wolfram's 2,3 Turing machine is universal - nagroda za dowod przyznana
Z grupy comp.theory i innych grup:
A.L.
________________________________________________________________
Prize Announcement
THE WOLFRAM 2,3 TURING MACHINE RESEARCH PRIZE
October 24th, 2007
http://www.wolframprize.org
________________________________________________________________
The Prize Is Won: The Simplest Universal Turing Machine Is Proved
It has been a long time since Alan Turing's original 1936 paper
about universal Turing machines. In 2002, Stephen Wolfram identified
a candidate for the smallest universal Turing machine, from a search
of the 2,985,984 2-state 3-color possibilities. As of today, we know
that Wolfram's 2,3 Turing machine actually is universal.
On May 14, 2007, as part of the fifth anniversary of Wolfram's book
A New Kind of Science, a $25,000 research prize was announced for
determining whether or not the Wolfram 2,3 Turing machine was in
fact universal. Only five months later, that prize has now been won,
ending a quest of more than half a century to find the very simplest
universal Turing machine.
Alex Smith, a 20-year-old undergraduate in Birmingham, UK, has given
a proof that Wolfram's 2,3 Turing machine is indeed universal. He
has a background in mathematics and esoteric programming languages.
This universality proof is also another piece of evidence for
Wolfram's general Principle of Computational Equivalence.
The official prize ceremony is planned for November at Bletchley
Park, UK, site of Alan Turing's wartime work.
For more information about the prize and the solution, see:
http://www.wolframprize.org
Stephen Wolfram has posted his personal reaction to the prize at:
http://blog.wolfram.com/2007/10/the_prize_is_won_the_simplest.html
-- The Wolfram Science Group
http://www.wolframscience.com
From: "Likaon" <thunderWYTNIJTO toya.net.pl>
Subject: Aproksymacja pierwsze i drugiej pochodnej
W jaki sposob aproksymowac pierwsza i druga pochodna funkcji np. u(x) z
ilorazami centralnymi??
Oczywiscie iloraz centralny to dy/dx=f(x+h)-f(x-h)/2h=Yi-Yi-1/2h .Prosze o
jakies sugetie jakie kroki mam poczynic w tym teorytycznym problemie.
--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl
From: "nemo" <nby_ciach o2_ciach_.pl>
Subject: ksiazka do powtorek przedmaturalnych
Witam
czy mozecie polecic jakies pozadne repetytorium do amtury? po zmianie (mix
rozszerzonej i podstawoewej) nie wiem co jest gosnego uwagi i kto
przystosowal sie do "przemiany".
chodzi mi o przejscie kolejnymi rozdzialami przez całosc materialu (troszke
teorii wprowadzajacej - niekoniecznie, ale koniecznie sporo zadana o
stopniowanej trudnosci)
ktos wydał cos pozadnego, czy posucha na rynku.
dziekuje za odpowiedz
Radek
PS pozdna ksiazka bylo dzielo: "Zdaj maturę" E.Świdy,K.Kłaczkowa i
A.Winsztal
From: "Likaon" <thunderWYTNIJTO toya.net.pl>
Subject: Re: Metoda aproksymacji II rzedu
Jak mozna sie domyslac to jest dzial metod numerycznych:) Mysle rowniez ,ze moge
sie zgodzic z stwierdzeniem ,ze chodzi o rownania rozniczkowe II rzedu:)
>
--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl
From: "Jacek Przybyszewski " jacek433 "" <beatajacek iinet.net.au>
Subject: Re: Re: Podzial okregu
Tak masz racje to jest lamiglowka. Mnie na widok tych tlumaczen oczy wyszly
nawierzch ;-)
Nadal nic niewiem:-)
Jacek
http://www.polskieaparaty.republika.pl
--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl
From: =?iso-8859-2?Q?Jakub_Wr=F3blewski?= <jakubw_bez_tego mimuw.edu.pl>
Subject: Re: Podzial okregu
Witam,
Użytkownik "Jacek Przybyszewski jacek433" <beatajacek iinet.net.au> napisał
w wiadomości news:2382.00000149.471e67d0 newsgate.onet.pl...
> Czy jest jakis prosty wzor na podzial okregu naprzyklad na 5, 11, 15 itd.
> Chodzi tu o wyznaczenie punktow cyrklem.
Szeroki temat. Nie wszystkie katy sa w ten sposob konstruowalne (ogolnie,
pytanie jest rownowazne pytaniu o konstruowalnosc wielokata foremnego o
danej liczbie bokow).
Zobacz w FAQ:
http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node91.html
http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node90.html
http://ux1.mat.mfc.us.edu.pl/~pgladki/faq/node92.html
Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski
From: "Jacek Przybyszewski " jacek433 "" <beatajacek iinet.net.au>
Subject: Podzial okregu
Czy jest jakis prosty wzor na podzial okregu naprzyklad na 5, 11, 15 itd.
Chodzi tu o wyznaczenie punktow cyrklem.
http://www.polskieaparaty.republika.pl
--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl
From: "M.Sep" <hbfgvgf ggfh.rtu>
Subject: =?iso-8859-2?Q?prosz=EA_o_pomoc?=
Czy mógłby ktoś podać linka do jakieś strony,
która łopatologicznie wyjaśniłaby mi
rozwiązywanie równań (i układów równań) różniczkowych metodą operatorową
(przekształcenie Laplace'a)?
szczególnie zależy mi na zrozumieniu powrotu do oryginału za pomocą residuów
(czytam już z 10 raz podręcznik i cały czas nie wiem jak się liczy te
residua) i z tw. Borela.
From: "Kasio" <ALE.BEZkasikaSpam2Wytnij wp.pl>
Subject: literatura do aktuariatu
Chcialam chlopakowi zrobic niespodzianke na urodzinki. Studiuje matme
interesuje sie aktuariatem. Poszukuje ksiazek do
matematyki ubezpieczeni nie zyciowych (majatkowej) + matmy finansowej. Wiem,
ze jest ksiazka do ubezp. W.Otto, ale wogĂłle nie byĹ
z niej zadowolony. Chodzi mu o coĹ co powoli idzie w kierunku egzaminu,
najlepiej po Polsku. Bo po angielsku to wiem, ze jest Theory of interest do
finansowej :).
Pozdrawiam,
Kasia
From: "H.D." <hdot vp.pl>
Subject: Re: calka po iloczynie
Użytkownik "lady bird" napisał
>
> Przeciez dokladnei to napisalem powyzej :-)
>
Do "dokladnie tak" to bardzo duzo brakuje ! :-)
Dokladnie tak byloby w wtedy, gdy byloby nie (1+ax)
a ( 1 + f(x)) przy czym |f(x)| <<1
lub okreslone granice calkowania duzo mniejsze na modul od 1.
Z kolei dla bardzo duzych granic w Twoim przypadku
1 + ax to jest prawie to samo co ax czyli masz
(ax)^p * (bx)^q = a*b*x^(p+q).
Jak widac co innego robi blad dla malych i b. duzych granic calkowania .
Dla malych granic wynik masz postaci x + cos_tam_drobnego
dla duzych granic wynik jest bliski stala*a*b * x^(p+q+1).
Dla ciekawosci mozesz zauwazyc, ze iloczyn calek bedzie postaci
stala*a*b * x^(p+q+2).
Na pewno dla pewnych przypadkow mozna podac calke (i to dokladna) z
iloczynu funkcji
znajac calki w tych samych granicach z poszczegolnych funkcji.
A blad miedzy calka iloczynu a iloczynem calek zawsze mozesz policzyc
szczegolnie jak w Twoim przypadku dla znanych funkcji . :-)
H.D.
From: Gik <patatai aol.com>
Subject: Re: Mathematica i precyzja =?ISO-8859-2?Q?obliczen=7E?=
Piotr napisał:
> Czy ktoś wie jaką maksymalną precyzję obliczeń może mieć Matematica,
> tz, na jakiej długości cyfrach obliczenia są możliwe.
max 646456887 cyfr znaczących, wystarczy?
> Może też ktoś wie czy Mathematica można tworzyć programy, także z GUI
> (graficznymi interfejsami użytkownika)
nie rozumiem tego co napisałeś. odpowiem tak : z mathematiki można
wywołać zewnętrzne programy, inne programy mogą wywołać kody mathematiki
--
Gik
From: Pawel Gladki <gladki NOSPAM.math.ucsb.edu.wroc.pl>
Subject: Re: algebra - grupy abelowe(przemienne)
Witam!
doktor.k wrote:
> czy jest jakaś reguła, określająca liczbę grup możliwą do
> wygenerowania na podstawię danego zbioru?
Chodzi o grupy przemienne (jak w temacie), tak? Owszem, jest to dosc
proste: korzystajac z fundamentalnego twierdzenia o strukturze
skonczonych grup abelowych mozna latwo wyznaczyc liczbe roznych (z
dokladnoscia do izomorfizmu) grup rzedu n. Jezeli mianowicie rozlozymy n
na czynniki pierwsze:
n = p_1^{k_1} * p_2^{k_2} * ... * p_m^{k_m}
to 'golym okiem' widac, ze roznych grup przemiennych rzedu n bedzie
A(n) = p(k_1) * p(k_2) * ... * p(k_m)
gdzie P jest funkcja partycji, tzn. p(t) = liczba roznych przedstawien
liczby t jako sumy dodatnich liczb naturalnych (np. P(4) = 5, bo 4 = 4 =
3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1).
Liczby A(n) tworza ciag oznaczony przez Sloane'a przez A000688:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000688
W przypadku grup nieprzemiennych sprawa jest w zasadzie beznadziejna...
Ciag liczb G(n) oznaczajacych liczbe grup rzedu n jest pierwszym ciagiem
w encyklopedii Sloane'a:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000001
Badaniem liczby roznych grup danego rzedu zajmuje sie m.in. projekt
Small Group Library:
http://www-public.tu-bs.de:8080/~hubesche/small.html
Na dzis dzien znamy wszystkie wartosci G(n) dla n = 1, 2, ..., 2015,
przy czym przypadek G(1024) = 49487365422 zostal rozwiklany calkiem
niedawno. Pierwsza 'dziura' pojawia sie dla n = 2016, potem, im wyzsze
n, tym tych 'dziur' wiecej...
--
_______ ---+
) . )__) Pawel Gladki : "There is no nature at an instant."
( _/(_ \ Homepage: http://math.ucsb.edu/~gladki/ : A.N. Whitehead
\_/\____) pl.sci.matematyka FAQ: www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/